Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

geleiding
convectie
straling

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(5)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(6)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

import numpy as np
buitenopp = (2*np.pi * 5 * 5.2 + 2*np.pi * 4.5 * 5.2 + 2*np.pi*(5**2-(4.5)**2)) / 10000
print(buitenopp,"m^2")

0.03402344843837746 m^2

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶



import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = buitenopp # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 880 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

times = np.array([0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5])*60
temps = np.array([41,37.8,37.0,35.1,33.8,33.4,32.7,31.9,31.2,30.5,30.1]) + 273.15

times_d = np.array([0,0.25,0.5,0.75, 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2, 2.25, 2.5, 2.75, 3, 3.25, 3.5, 3.75, 4, 4.25, 4.5, 4.75, 5])*60
temps_d = np.array([44.6, 43.5, 43.1, 42.8, 41.6 , 40.8, 40.2, 39.2, 38.6, 38.3, 37.5, 36.8,36.5, 36.3, 35.8, 35.5, 34.9, 34.6, 34.3, 34.0, 33.8]) + 273.15

# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[20, 500, 293], maxfev=8000)

popt1, pocv1 = curve_fit(exp_func, times_d, temps_d, p0=[20, 500, 293], maxfev=8000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt
A_exp1, tau_exp1, T_omg_exp1 = popt1


y_fit = exp_func(times, *popt)
y_fit1 = exp_func(times_d, *popt1)



plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='data zonder dop')
plt.plot(times, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))
plt.plot(times_d, temps_d, 'go', label='data met dop')
plt.plot(times_d, y_fit1, 'm-', 
         label='$T_{dop} = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp1, tau_exp1, T_omg_exp1))
plt.legend()

plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
h_exp1 = (warmtecapaciteit) / (tau_exp1 * buitenoppervlak)
 
print("de warmteoverdrachtscoëfficiënt is", h_exp, "W/m^2 K") # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
print("de warmteoverdrachtscoëfficiënt met dop is", h_exp1, "W/m^2 K") # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
# Sla figuren op met  
# 
# plt.savefig("Figuren/naam.png", dpi=450)

de warmteoverdrachtscoëfficiënt is 168.51046274982806 W/m^2 K
de warmteoverdrachtscoëfficiënt met dop is 99.95415606314182 W/m^2 K

Discussie en conclusie¶

concluderend koelt de buis zonder dop sneller af dan met dop. Dit klopt, aangezien door de dop de lucht niet fijn kan stromen door de buis en het dus luchtconvectie tegen gaat zodat de warmte minder snel overgedragen kan worden aan de lucht. De warmte lucht blijft hangen, hierdoor is het tempratuurverschil tussen de buis en lucht kleiner. De warmteoverdrachtscoëfficiënt is ongeveer 168.5 W/m^2 K zonder dop en ongeveer 99,95 W/m^2 K. Dit was verwacht met de theoretische bekende waarde. Voor een nauwkeurig en beter onderzoek zou het experiment meerdere keren herhaald kunnen worden om zo een nauwkeuriger resultaat te krijgen.